Bilangan Berpangkat, Bentuk Akar dan Logaritma

BILANGANBERPANGKAT      BENTUK AKAR                LOGARITMA

1.  BILANGAN BERPANGKAT (EKSPONEN)

Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka pangkat n dan  a ditulis  aⁿ.

aⁿ didefinisikan sebagai berikut :

                                                              

dengan :  aⁿ  =  dibaca a pangkat n

a  = bilangan pokok

n  = pangkat (eksponen)

a.  Pangkat Bulat Positif

Definisi	Contoh
Untuk a Î R , n Î R himpunan bilangan bulat	53 = 5 × 5 × 5 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 (½)2 = ½ × ½

Untuk  a, b, m, n Î B,  a ¹  0,  b ¹  0,  berlaku sifat-sifat berikut.

No	Sifat	Contoh
1.	am. an = am+n	52 . 53 = (5 × 5 ) (5 × 5 × 5) = 55
2.
3.	(am)n = am.n	(32)3 = 32.3 = 36
4.	(a.b)m = am . an	(2.5)2 = 22 . 52 = 4 × 25 = 100
5.

b.  Pangkat Tak Sebenarnya

Untuk  a, m Î R,  a ¹ 0,  berlaku sifat-sifat berikut.

No	Sifat	Contoh
1.
2.	a0 = 1	20 = 1,  40 = 1

C.  Pangkat Pecahan

Untuk  a, b, m, n Î R,  a, b, m, n ¹  0,  berlaku sifat-sifat berikut.

D.  Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

1)  Bentuk-bentuk persamaan eksponen

a)  Persamaan eksponen bentuk  a^f(x) = a^p

Jika a^f(x) = a^p , maka f(x) = p, untuk a > 0 dan a ¹ 1

b)  Persamaan eksponen bentuk a^f(x) = a^g(x)

Jika a^f(x) = a^g(x), maka f(x) = g(x), untuk a > 0 dan a ¹ 1

c)  Persamaan eksponen bentuk a^f(x) = b^f(x)

Jika a^f(x) = b^f(x), maka f(x) = 0, untuk a > 0, b > 0, a ¹ 1  dan b ¹ 1

d)  Persamaan eksponen bentuk h(x)^f(x) = h(x)^g(x)

Jika h(x)^f(x) = h(x)^g(x), maka kemungkinan yang terjadi adalah sebagai berikut.

·      f(x) = g(x)

·      h(x) = 1

·      Jika f(x) dan g(x) positif, maka h(x) = 0

·      Jika f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap, maka h(x) = 1

2)  Bentuk-bentuk pertidaksamaan eksponen

a)  Jika a > 0 dan a^f(x) > a^p maka f(x) > p

b)  Jika a > 0 dan a^f(x) > a^g(x) maka f(x) > g^(x)

c)  Jika 0 < a < 1 dan a^f(x) > a^g(x) maka f(x) < g^(x)

Contoh Soal dan Pembahasan:

1.  Nilai x yang memenuhi persamaan  3^{2x + 1} = 9

Jawab :    3^{2x + 1} = 9

3^{2x + 1} = 3²

2x + 1 = 2

2x = 2 – 1

2x = 1

   x = ½

2.  Nilai x yang memenuhi persamaan  5^{3x – 2}  = 25^{2x + 1}

Jawab :    5^{3x – 2}  = 25^{2x + 1}

5^{3x – 2}  = (5²)^{2x + 1}

5^{3x – 2}  = 5^{4x + 2}

3x – 2 = 4x + 2

3x – 4x = 2 + 2

– x = 4

   x = – 4

                                         

3.  Penyelesaian Pertidaksamaan  2^{x + 1} > 1/8

Jawab :    2^{x + 1} > 1/8

2^{x + 1} > 2^-3

x + 1 > -3

x  > -3 – 1

x > -4

4.  Penyelesaian dari   adalah ..

Jawab :  

                                

Sehingga menjadi persamaan berikut.

2x – 8 < -2x + 4

2x + 2x < 4 + 8

4x < 12

   x < 3

loading...

Barisan Dan Deret Geometri

BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

A.  Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang memiliki rasio atau pembanding yang tetap antara suku-suku yang berurutan. Jika rasio dari barisan geometri adalah  r   dan suku pertamanya adalah  a  , rumus suku ke-n (U_n) barisan geometri adalah sebagai berikut :

U_n =  a r ^{n – 1}

Dengan   r = rasio Þ  r  = U_n / U_n-1

 a = suku pertama

B.  Deret Geometri

Deret geometri merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan geometri. Jumlah n  suku pertama (S_n) deret geometri dirumuskan sebagai berikut :

dengan :

n = banyak suku

a = suku pertama

r = rasio

C.  Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang memiliki suku tak terhingga. Dere geometri tak hingga : a + ar + ar² + ar³ + .... akan mempunyai jika – 1 < r < 1 (nilai r  terletak antara – 1 dan 1)

Jumlah deret geometri tak hingga dirumuskan sebagai berikut :

dimana :   a = suku pertama

 b = rasio

loading...

Barisan Dan Deret Aritmatika

BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

A.  Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan yang memiliki beda atau selisih tetap antara dua suku yang berurutan. Jika  a  adalah  suku pertama dan  b  adalah beda setiap suku yang berurutan, suku  ke-n (U_n) barisan aritmatika dapat dirumuskan sebagai berikut :

U_n  =  a + (n – 1)b

Dimana  a = suku pertama

b = beda/selisih

B.  Deret Aritmatika

Deret aritmatika merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan aritmatika. Jumlah n suku pertama (S_n)  deret aritmatika dirumuskan sebagai berikut.

Latihan Soal Barisan & Deret Aritmatika

1.  Suku ke-10 dari barisan : 8, 6, 4, 2, .... adalah .....

Jawab :

a = 10,  b = 6 – 8 = – 2

Un = a + (n – 1)b

U₁₀ = 10 + (10 – 1).( – 2)

U₁₀ = 10 + (9).( – 2)

U₁₀ = 10 + (– 18)

U₁₀ = – 8

2.  Diketahui barisan aritmatika dengan U₃ = 7 dan U₁₁ = 47, maka U₁₀₁ adalah ...

Jawab :

Un = a + (n – 1)b U3 = 7     Þ  a  +   2b   = 7 U11 = 47 Þ  a + 10b = 47 (eliminasi a) - 8b  = - 40      b = 5 substitusi b = 5 ke U3 = 7 a  +   2b    =  7 a  +   2(5)   = 7 a  +   10   = 7 a  = 7 – 10 a = – 3

maka U101 Un = a + (n – 1)b U101 = a + (101 – 1)b U101 = a + 100b U101 = (– 3) + 100.(5) U101 = (– 3) + 500 U101 = 497

3.  Diketahui barisan aritmatika : -7, -4, -1, 2, 5, ....

Suku yang nilainya 38 adalah suku ke  ......

Jawab :

a = -7  ,   b = -4 – (-7) = 3 dan U_n = 38

U_n = a + (n – 1)b

38 = (-7) + (n – 1).3

38 = (-7) + 3n –3

38 =  3n –10

38 + 10 =  3n

3n = 48

 n = 16

Jadi nilai 38 adalah suku ke-16

4.  Jumlah deret aritmatika berikut : 200 + 190 + 180 + 170 + ..... + 90 adalah ...

Jawab :

a = 200

b = 190 – 200 = – 10

U_n = 90

Cari Un = 90 suku ke berapa ... Un = a + (n – 1)b 90 = 200 + (n – 1).(-10) 90 = 200 – 10n + 10 90 = 210 – 10n 10n = 210 – 90  10n = 120     n = 12

Maka Jumlah deret aritmatikanya

5.  Pertambahan hasil produksi mobil di Indonesia adalah deret hitung

(deret aritmatika). Jika produksi pada bulan pertama adalah 150 unit

dan pada bulan ke-4 adalah 180 unit, jumlah produksi mobil di Indonesia

pada tahun pertama adalah ....

Jawab :

a = 150 U4 = 180  Þ 180 = a + 3b 180 = 150 + 3b 180 – 150  = 3b 30  = 3b 10 = b S12 = ...... ?

Jadi jumlah produksi mobil di Indonesia pada tahun pertama adalah 2.460 unit

loading...